Il existe en maths plusieurs raisonnements très utilisés et ce à quelque niveau que ce soit, du collège à l’université… Ces raisonnements sont incontournables, il faut les connaître absolument pour faire des mathématiques.
1. Le raisonnement par l’absurde.
Le raisonnement par l’absurde remonte à Euclide, mathématicien de la Grèce antique. Il est toujours utilisé dans les mathématiques actuelles !
En utilisant ce raisonnement, Euclide a notamment prouvé l’irrationalité de racine de 2, il a également montré qu’il y a une infinité de nombres premiers. Mais qu’est-ce que le raisonnement par l’absurde ?
But : Supposons qu’on souhaite prouver une proposition A. Le principe est le suivant :
- On suppose que la proposition A soit fausse.
- Grâce à des enchainements logiques, on arrive à une contradiction
- On en déduit que notre supposition était fausse c’est à dire que A est vrai.
Exemple : Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
On supposerait ici que la somme d’un rationnel A et d’un irrationnel B soit un rationnel C. Alors la différence C-A soit B serait rationnel, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse.
2. Le raisonnement par récurrence
Ce raisonnement s’applique lorsque qu’on souhaite montrer qu’une affirmation est vraie pour tout n entier naturel. Ce raisonnement est utilisé typiquement dans les exercices sur les suites, mais pas uniquement…
Le principe est le suivant : Soit P(n) une proposition à prouver pour tout entier n.
On suppose qu’elle soit vraie pour un certain entier k fixé. Si l’on peut montrer qu’elle est vraie au rang suivant k+1, on a montré ce que l’on appelle l’hérédité. (La propriété est transmise au rang suivant). Pour prendre l’analogie avec les dominos : telle une réaction en chaine, un domino qui tombe fait tomber le suivant, qui fera à nouveau tomber le suivant, etc. C’est une visualisation de « l’hérédité ».
Est-ce que le cela signifie pour autant que tous les dominos tomberont ? Oui, mais à une condition : de pousser le 1er ! Pour faire l’analogie avec notre proposition P(n), l’initialisation consiste à prouver qu’elle est vrai au 1er rang. Cette étape est en général triviale à montrer mais elle est indispensable
Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
Il arrive qu’on puisse montrer l’hérédité d’une proposition P(n) elle qu’elle soit fausse. Ce serait le cas lorsque l’initialisation est iréalisable.
3. Raisonnement par contraposée
L’implication A implique B est logiquement équivalente à non B implique non A. À ne pas confondre avec la réciproque qui serait B implique A qui elle n’est pas toujours vraie. C’est du cas par cas.
Prenons un exemple très simple pour illustrer cela :
Si un élève est en quatrième alors il est collégien. Cette proposition est vraie, bien sûr ! La contraposée serait : si un élève n’est pas collégien alors il n’est pas en quatrième. Ces deux propositions sont logiquement équivalentes. Notez bien que la réciproque est fausse. En effet, si un élève est collégien alors il n’est pas forcément en quatrième !
La contraposée n’est pas la réciproque !
Exemple :
Soit n un entier. Montrer que si le carré de n est pair, alors n est pair.
Il est ici plus facile passer par la contraposée, c’est à dire prouver que :
Si n est impair alors son carré est impair.
4. Raisonnement par disjonction de cas
Typiquement utilisé en arithmétique, le raisonnement par disjonction de cas, comme son nom le suggère, consiste à prouver la proposition en « balayant » tous les cas de figures en optant pour une certaine partition.
Prenons un exemple très simple pour illustrer cela :
Montrer que pour tout entier n, le nombre n(n+1)/2 est un entier.
On raisonne ici suivant la parité de n. On montre que la propriété est vraie pour les entiers n pairs, puis qu’elle vraie pour les entiers impairs n. Les entiers pairs et impairs forment bien une partition de l’ensemble des entiers naturels.
Pour aller plus loin, je vous invite à lire mon article sur :
